2017年度前期数学A (電気電子)

3. 授業の記録

★は提出物を表す.

4/8 (土)　実数の性質
ガイダンス. 実数の基本性質(公理), 公理を用いて定理 $ a \leq b, c \leq 0 \Rightarrow ac \geq bc $ の証明, 最大数(最小数), $[0,1)$に最大数がないことの証明, 上限(下限), 上に(下に)有界, 連続性公理. 問題1-1 (20分程度).
頻出の言葉や論理記号など
補助資料のp1-p4を配布. (都合により電子データは掲載不可)
※補助資料の取材元→黒田成俊著「共立講座 21世紀の数学 1 微分積分」(共立出版)
※次回は数列の極限です.
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4/15 (土)　数列の極限
数列が収束することと発散することの定義($\varepsilon$-$N$論法). 極限と四則の関係(和に関して証明を与えた). 極限と順序の関係. 例をいくつか説明.
★演習: 問題2-1(はさみうちの原理の証明)と問題2-2(極限の計算).
単調増加と単調減少, 有界な単調数列の収束性定理.
補助資料のp5-p8を配布. (都合により電子データは掲載不可)
※次回は, 有界な単調数列の収束性定理の応用例題(ネピア数の定義等)から始めて, 関数の極限($\varepsilon$-$\delta$論法)と関数の連続性について講義する予定です.
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4/22 (土)　数列の極限(2)・関数の極限
数列$ \{ (1+\frac{1}{n})^{n} \} $の収束性とネピア数の定義. 漸化式によって定まる数列の極限の例.
関数(function)の定義域(domein)と値域(range). 関数の極限の定義($\varepsilon$-$\delta$論法). 極限と四則および順序との関係. 右極限と左極限. 関数の極限と数列の極限の関係.
★演習: 問題3-3.
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4/29(土)　関数の連続性, 逆三角関数
関数の連続性. 中間値の定理, 最大値・最小値の定理, 逆関数の定理. 高校で学んだ逆関数の例を振り返りながら, 逆三角関数を定義. 逆三角関数の値, 性質, 証明問題の例. 双曲線関数と双曲線.
★演習: 教科書p29-32の問4と問7.
補助資料のp9-p12を配布. (p9までは都合により電子データは掲載不可. p10: 追加問題あるいは確認問題, p11-p12: 5 逆三角関数の定義とグラフ)
※次回から, 1変数関数の微分法に入ります.
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5/13(土)　1変数関数の微分法(1)
微分係数と導関数. 逆三角関数の導関数, 双曲線関数の導関数.
★演習: 問題6-2 (6)(7)(8)(9).
ロルの定理, 平均値の定理まで.
補助資料のp13-p16を配布. (p13-p18: 6 関数の微分可能性／7 微分可能な関数の性質／8 高階導関数／9 テイラーの定理と応用／追加問題その2)
※次回は, 平均値の定理とその周辺です.
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5/20(土)　1変数関数の微分法(2)
「平均値の定理」周辺の様々な定理についてその証明の流れ(全体像)を説明, コーシーの平均値の定理とその証明, 問題7-1(1)の証明, ベルヌーイ-ロピタルの定理, 問題7-2.
★演習: 問題7-3.
高階導関数, ライプニッツの公式, テイラーの定理とその証明. ※次回は, テイラーの定理の応用について講義します.
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5/27(土)　1変数関数の微分法(3), べき級数(1)
テイラーの定理の応用. 高階微分可能な関数に対する有限テイラー展開. $ e^x $の場合, $\sin x $の場合(問題9-1の(1)). $e$の近似値, $e$が無理数であることの証明.
剰余項の極限, (有限でない)テイラー展開.
★演習: 問題9-1(2)と問題9-2(2).
形式べき級数と演算(和・積・項別微分・項別積分).
補助資料のp17-p18, p19-p20を配布.
(p19-p20: 10 べき級数)
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6/3(土)　べき級数(2), 積分(1)
べき級数の収束性, 収束半径, ダランベールの判定法とコーシーの判定法. 幾何級数を元にして項別微分や項別積分などで様々なテイラー展開を作ってみた. 積分の計算, 主に部分積分, $ I_n = \int \cos^n x \,dx $の漸化式.
★演習: 教科書p.46の問4, $ I_n = \int \sin^n x \,dx $の漸化式と$ I_2,I_3,I_4$を求めよ.
補助資料のp21-p22を配布.
(p21-p24: 11 積分の計算／12 定積分の定義と微分積分学の基本定理／追加問題その3)
※次回は, 有理関数の積分計算から始めます.
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6/10(土)　積分(2)
$ J_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \,dx $の値について. 有理関数の積分. $\sin x,\cos x$の有理関数の積分.
★演習: 問題11-1.
定積分の定義(区分求積法, プリントp.22まで).
補助資料のp23-p24を配布.
※次回は, 微分積分学の基本定理の説明, 広義積分.
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6/17(土)　積分(3)
積分可能になる十分条件, 区分的に連続な関数, 積分の平均値の定理(証明), 微分積分学の基本定理(証明), 微分積分学の基本公式(証明), 不定積分と原始関数の違いについて. 広義積分.
★演習: 黒板に書いた広義積分の問題(4題).
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6/24(土)　多変数関数の微分法(1)
多変数関数の定義域・値域・グラフ, 3次元空間内の平面の方程式と直線の方程式, 2変数関数の極限と連続性, 偏微分可能性と偏導関数.
配布物: 1変数関数の微積分の練習問題, 偏微分についての資料(手書き)
★演習: 教科書, 偏微分のページの問1.
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7/1(土)　多変数関数の微分法(2)
偏微分可能だが連続にならない関数の例, 全微分可能性, 接平面の方程式, 合成関数の(偏)微分法, 変数変換とそのヤコビアン.
★演習: 接平面を求める問題(2題), 合成関数の(偏)微分法の問題. (黒板に書いた)

参考: 2変数の有理関数のグラフの例(Windows用ソフト「FunctionView」利用, 講義で取り扱っていないものも含む)
$ z = ( x^2 - y^2 ) / ( x^2 + y^2 ) $
曲面1-1　曲面1-1a　曲面1-2　曲面1-3　曲面1-4
$ z = xy / ( x^2 + y^2 ) $
曲面2-1　曲面2-1a　曲面2-2
$ z = ( x^3 + x^2 y ) / ( 2 x^2 + y^2 ) $
曲面3-1　曲面3-1a
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7/8(土)　多変数関数の微分法(3)
多変数関数の微分法の資料
 練習問題2
高階偏導関数, 2変数関数のテイラーの定理, 2変数関数の極値問題(極値の定義・極値を取るための必要条件・極値の判定法・例題).
参考: 極値問題の例として用いた関数$ f(x,y) = x - x^3 - x y^2 $のグラフ: 1枚目, 2枚目, 3枚目.
★演習: 練習2の問7.
※次回は, 陰関数定理と条件付き極値問題.
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7/15(土)　多変数関数の微分法(4)
陰関数定理, 条件付き極値問題.
他クラスのために急遽作った資料 (このクラスでは未配布. 一応データを載せておく)
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7/22(土)　模擬試験
1限に模擬試験を行った. 2限はその解答を簡単に説明し, 授業アンケートを行った.
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7/29(土)　期末試験
90分, 持ち込み不可.
学生証, 黒(青)ペンを忘れずに.
問題用紙, 計算用紙, 解答用紙が配布されるが, 回収するのは解答用紙のみ.
途中計算や思考過程などはすべて解答用紙に記すこと. すぐに答えが分かる問題を除き, 答えのみは不可(不正解)とする.
(一応計算用紙もあるが, 以上の点には注意すること.)
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『数学A』

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2. 文献とソフトウェア

3. 授業の記録