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『数学B』

2017年度後期, 金曜2限&3限, 応用化学科1年1組, 2組

0. 更新履歴および連絡事項

最終更新 2018/01/22 13:46

1. 履修に当たって

こちらです (教科書・履修条件・到達目標・成績評価について)

2. 文献とソフトウェア

こちらです (参考図書・ソフトウェアについて)

3. 資料

↓同じマークは同一PDFファイル
重積分
1 2重積分 (9/25公開)
2 2重積分における変数変換 (9/25公開)
3 3重積分 (10/9公開) (p.6相当部分には手書きの概念図を入れた(電子データ無し))
4 3重積分における変数変換/重積分の応用 (10/9公開)
ベクトル解析
5 線形代数からの準備 (10/26公開)
6 ベクトル関数の微分法 (10/26公開)
7 曲線とベクトル関数 (10/30修正, p.9の式(3)と(7))
8 スカラー場とベクトル場 (11/13公開)
9 線積分 (11/13公開)
10 特別な線積分 (11/13公開)
11 曲面とベクトル関数 (11/20公開)
12 面積分 (11/27 いくつかの誤植を修正)
13 積分定理 (12/5公開)
14 ベクトル解析の演習問題(積分計算中心) (12/9公開)
微分方程式
1 微分方程式 (12/18公開)
2 1階の微分方程式の解法 (12/18公開)
3 線形微分方程式 (12/24公開)
4 定数係数斉次線形微分方程式 (12/24公開)
5 定数係数非斉次線形微分方程式 (1/15 誤植修正)

4. 授業の記録

★は提出物を表す.
  1. 9/22 (金) 重積分(1)
    ガイダンス, 2重積分の定義と性質, 累次積分, 累次積分の計算例, 演習25分程度.
    ★提出問題 $ D: 1/2 \leq x \leq 1 $, $ x^4 \leq y \leq x $, $ \iint_D x^3/y^2 dx dy = ? $
    演習1 解答
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  2. 9/29 (金) 重積分(2)
    2重積分における積分順序の交換の例および問(ここまでで約60分), 変数変換の公式. 変数変換を用いる計算例をふたつ(1次変換と極座標変換), 演習約30分.
    ★提出問題: 2-3(1)および2-4(1)(2).
    演習2 解答
    --------------------

  3. 10/6 (金) 重積分(3)
    2重積分における変数変換の続き, 極座標変換を用いる例(前回よりも難しいもの), 演習問題2-4(3)をノートに. 3重積分の定義と性質, 累次積分による計算例, 平面の方程式の一般形の導出, 演習約30分.
    ★提出問題: 3-1(1)(2).
    演習3 解答 (10/15 解答を追記)
    --------------------

  4. 10/13 (金) 重積分(4)
    3重積分における変数変換, 空間の極座標, 空間の極座標変換を用いる3重積分の計算例. 面積・体積への応用, 演習約40分
    ★提出問題: 4-3(1)と4-4.
    演習4 解答
    --------------------

  5. 10/20 (金) テスト, ベクトル解析(1)
    重積分のテスト(60分間)および解説, 線形代数学からの準備(ベクトルの内積と外積).
    演習5 解答
    --------------------

  6. 10/27 (金) ベクトル解析(2)
    ベクトル関数の微分法, 曲線とベクトル関数. 接ベクトルと接線, 曲線の長さ.
    ★提出問題: 7-1.
    演習6&7 解答

    実験的試み(動画): 曲線と接ベクトル 1. 円らせん 2. ハートマーク
    --------------------

  7. 11/11 (金) ベクトル解析(3)
    曲線とベクトル関数の復習, 曲線の長さと弧長, スカラー場とベクトル場. スカラー場の線積分, ベクトル場の線積分, 演習約40分.
    ★提出問題: 9-2.
    演習9 解答
    --------------------

  8. 11/17 (金) ベクトル解析(4)
    線積分の復習, スカラー場の勾配, 特別な線積分(経路によらない線積分). 曲面とベクトル関数, パラメータ曲線, 法ベクトル, 接平面.
    ★提出問題: 11-1 (3) (の簡易バージョン)
    演習10 解答
    演習11 解答
    特別な線積分の補足 (11/20公開)
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  9. 11/24 (金) ベクトル解析(5)
    曲面について前回の復習と補足, 曲面の面素と表面積, 例題: 上半球 $ x^2 + y^2 + z^2 = a^2, z \geq 0 $ を 円柱 $ x^2 + y^2 \leq ax $で切り取った部分の表面積. スカラー場の面積分(定義に触れただけ), ベクトル場の面積分, 例題: あるベクトル場の球面に沿う面積分. 演習約30分.
    ★提出問題: 12-2 (1)
    演習12 解答
    --------------------

  10. 12/1 (金) ベクトル解析(6)
    線積分と面積分の復習, ベクトル場の回転と発散, 積分定理, ストークスの定理. グリーンの定理と証明, 演習13-1と13-2は授業中に解説. 演習約30分.
    ★提出問題: $ \displaystyle \oint_{\partial D} \omega = ( x + y^2 ) \,dx + ( x^2 + y ) \,dy $ を求めよ. ただし, $D$ は放物線 $ y = x^2 $ と直線 $ y = 2 - x $ で囲まれた領域.
    ※終わらなかった者は次回提出せよ.
    演習13 解答
    --------------------

  11. 12/8 (金) ベクトル解析(7)
    ガウスの発散定理, 定理が成り立つ理由の説明, 演習13-3を授業中に解説, 積分定理周辺の全体概念図を配布し解説. 問題演習90分.
    ★提出問題: 14-6の(1)(2), 14-5の(1)(2) ※終わらなかった者は次回提出せよ.

    演習14 略解 (詳しい解答は後日公開予定 公開しました)
    14-1. $ \{ 2 \sqrt{5} + \log ( 2 + \sqrt{5} ) \}/4 \quad$ 14-2. $ \frac{2}{3} \pi \left\{ ( a^2 + 1 )^{\frac{3}{2}} - 1 \right\} \quad$ 14-3. (1) $ - 189/10 \quad$ (2) $ 5/6 \quad$ (3) $ 3/4 \quad$ 14-4. (2) $ 12/5 \quad$ 14-5. (1) $ -3 \pi \quad$ (2) $ 4 \pi \quad$ (3) $ 0 \quad$ (4) $ 0 \quad$ 14-6. (1) $ 7/3 \quad$ (2) $ 64 \pi \quad$ (3) $ 83/64 \quad$
    演習14 解答 (12/18公開)
    14-6(3)の四角錐の図 (12/18公開)
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  12. 12/15 (金) 微分方程式(1)
    微分方程式の基礎, 1階の微分方程式の解法(変数分離形, 1階の線形微分方程式), 演習約20分.
    ★提出問題(宿題): 2-2の(1)(2), 2-1(1)(2)(3)(4)  ※時間が足りなかったため, 次回までの課題とする.
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  13. 12/22 (金) 微分方程式(2)
    完全微分方程式, 演習約20分. 線形微分方程式の解の一般論. 定数係数斉次線形微分方程式, 特性方程式, 微分演算子$D$(資料の命題4.2まで).
    ★提出課題: 2-3
    D.E. 演習2 解答
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  14. 1/12 (金) 微分方程式(3)
    定数係数斉次線形微分方程式の一般解. 非斉次の場合の導入, 逆演算子$F(D)^{-1}$の意味. 演習約15分+授業アンケート約10分.
    ★提出課題: 4-1の(1)から(5)
    D.E. 演習4 解答
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  15. 1/19 (金) 微分方程式(4)
    定数係数非斉次線形微分方程式の特殊解の求め方と一般解. 演習約30分.
    ★提出課題: 5-2(1)(4), 5-3(1)(2)
    D.E. 演習5 解答
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  16. 1/29 (月) 期末試験
    90分間, 持ち込み不可.
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