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『数学1 (新規・再履)』

2018年度前期, 月曜3限, 物理学科1年1組, 2組

0. 更新履歴および連絡事項

※授業の記録の更新は, 月曜日当日は難しく, 週末になってしまうこともあります.
最終更新 2018/07/23 0:17

1. 履修に当たって

こちらです (教科書・履修条件・到達目標・成績評価について)

2. 文献とソフトウェア

こちらです (参考図書・ソフトウェアについて)

3. 資料

0 用語と記号  練習問題の解答 (4/14公開)

基礎概念

1変数関数の微分法

べき級数・1変数関数の積分法

多変数関数の微分法

4. 授業の記録

★は提出物を表す.
  1. 4/9 (月) 実数の性質
    資料を3枚配布.
    ガイダンス. 用語と記号, 論理記号の使い方, 実数の基本性質(公理), 公理を用いて定理 $ a \leq b, c \leq 0 \Rightarrow ac \geq bc $ の証明, 最大数(最小数), 上限(下限), 上に(下に)有界, 連続性公理.
    ※次回は数列の極限です.
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  2. 4/16 (月) 数列の極限
    資料を1枚配布(p.5-6). 数列が収束することと発散することの定義($\varepsilon$-$N$論法). 極限と四則の関係(和に関して証明を与えた). 極限と順序の関係(特にはさみうちの原理).
    ★課題: 資料p.5の演習問題2-1(はさみうちの原理の証明)と2-2(極限の計算). (次回まで)
    ※次回は, 有界な単調数列の収束性定理の応用例題(ネピア数の定義等)から始めて, 関数の極限($\varepsilon$-$\delta$論法)と関数の連続性について講義する予定です.
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  3. 4/23 (月) 数列の極限(2)・関数の極限
    資料を1枚配布(p.7-8). 単調増加と単調減少, 有界な単調数列の収束性定理. 数列$ \{ (1+\frac{1}{n})^{n} \} $の収束性とネイピア数の定義. 関数(function)の定義域(domein)と値域(range). 関数の極限の定義($\varepsilon$-$\delta$論法). 極限と四則および順序との関係. 関数の極限と数列の極限の関係.
    ★課題: 資料p.8の演習問題3-1, 3-2, 3-3. (次回まで)
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  4. 4/30(月) 関数の連続性, 逆三角関数
    資料を2枚配布(p.9-12). 関数の連続性. 中間値の定理, 最大値・最小値の定理, 逆関数の定理. 高校で学んだ逆関数の例を振り返りながら, 逆三角関数を定義. 逆三角関数の値, 性質, 証明問題の例.
    ※今回は課題無し. これまでの内容や逆三角関数の性質をよく復習すること. 授業ではアークサインのみを詳しく説明したが, アークコサインとアークタンジェントも勉強しておくこと. 次回から, 1変数関数の微分法に入ります.
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  5. 5/7(月) 1変数関数の微分法(1)
    資料を1枚配布(p.13-14). 微分係数と導関数. 逆三角関数の導関数. 対数微分法.
    ★課題: 資料p.13の演習問題6-2 (次回まで)
    ※次回は, 平均値の定理とその周辺です.
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  6. 5/14(月) 1変数関数の微分法(2)
    資料を1枚配布(p.15-16). 極大と極小の定義, ロルの定理, 平均値の定理(およびその周辺)
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  7. 5/21(月) 1変数関数の微分法(3)
    資料を1枚配布(p.17-18). コーシーの平均値の定理, ベルヌーイ-ロピタルの定理. 高階導関数, ライプニッツの公式, テイラーの定理(定理の紹介のみ).
    ★課題: 資料p.14の演習問題7-2と7-3, 資料p.15の演習問題8-1. (次回まで)
    ※一部解答公開中. 必ず自分で考えて解いてみてから見ること.
    ※次回はテイラーの定理の証明と応用です.
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  8. 5/28(月) 1変数関数の微分法(4)
    テイラーの定理の証明, 有限テイラー展開, テイラー展開. $e^x$と$\sin x $のテイラー展開.
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  9. 6/4(月) 1変数関数の微分法(4)
    資料を1枚配布(p.19-20). 課題の返却と間違いやすい問題の解説. 形式べき級数と演算(和・積・項別微分・項別積分), べき級数の収束性, 収束半径, ダランベールの判定法とコーシーの判定法.
    ★課題: 教科書p.77の例2.8.7と問3 (問3のみだと問題が少ないので例題も勉強すること)
    ※次回から積分.
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  10. 6/11(月) べき級数(2), 積分(1)
    資料を1枚配布(p.21-22). べき級数の続き(項別積分でテイラー展開を作る例). 積分の計算.
    ★課題: 資料p.21の問題11-1. (次回まで)
    ※次回は, 定積分の定義, 微分積分学の基本定理, 広義積分.
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  11. 6/18(月) 積分(2)
    資料を1枚配布(p.23-24). 定積分の定義, 積分の平均値の定理(証明略), 微分積分学の基本定理と証明.
    ※次回は, 微分積分学の基本公式と広義積分. 偏微分の初歩も.
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  12. 6/25(月) 積分(3)
    (課題返却および気になった点について説明.) 微分積分学の基本公式. 広義積分.
    ★演習・課題: 教科書p.67の問2 (1)(3). (次回まで) (注. (2)は授業中に解いた)
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  13. 7/2(月) 多変数関数の微分法(1)
    資料を2枚(p.25-28), 練習問題を1枚配布. 2変数関数の極限と連続性, 偏導関数と高階偏導関数, 全微分可能性と接平面の方程式. (7,8分余ったので, 平面の方程式の一般形の導出)

    追加練習問題(7/9追記. 他クラスで取り上げた問題です)
    問. 曲面 $ z = f(x,y) $ の接点$A$における接平面を求めよ.
    (1) $ f(x,y) = x^4 y + 3 x^2 y^2 + 5 x $, $ A(1,2,f(1,2)) $
    (2) $ f(x,y) = \sin (3x+2y ) $, $ A(0,0,f(0,0)) $

    (答) (1) $ z = 37 x + 13 y - 44 \quad $ (2) $ z = 3 x + 2 y $

    参考: 2変数関数のグラフの例(7/9追記)
    (Windows用ソフト「FunctionView」利用, 講義で取り扱っていないものも含む)
    $ z = ( x^2 - y^2 ) / ( x^2 + y^2 ) $
    曲面1-1  曲面1-1a  曲面1-2  曲面1-3  曲面1-4
    $ z = xy / ( x^2 + y^2 ) $
    曲面2-1  曲面2-1a  曲面2-2
    $ z = ( x^3 + x^2 y ) / ( 2 x^2 + y^2 ) $
    曲面3-1  曲面3-1a
    $ z = \sin (3x+2y ) $と接平面$ z = 3 x + 2 y $
    曲面4-1
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  14. 7/9(月) 多変数関数の微分法(2)
    資料を2枚(p.29-30&接平面を手書きしたもの)配布. 合成関数の(偏)微分法, 変数変換とそのヤコビアン, 2変数関数のテイラーの定理, 2変数関数の極値.
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  15. 7/16(月) 多変数関数の微分法(3)
    2変数関数の極値問題, 陰関数定理と条件付き極値問題. 授業アンケート.
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  16. 7/30(月) 期末試験
    90分間, 持ち込み不可.
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