2018年度前期数学A (電気電子)

4. 授業の記録

★は提出物を表す.

4/14 (土)　実数の性質
資料を3枚配布.
ガイダンス. 用語と記号, 論理記号の使い方, 実数の基本性質(公理), 公理を用いて定理 $ a \leq b, c \leq 0 \Rightarrow ac \geq bc $ の証明, 最大数(最小数), $[0,1)$に最大数がないことの証明, 上限(下限), 上に(下に)有界, 連続性公理.
★演習: ある半開区間の最大数・最小数・上限・下限を答える問題.
※次回は数列の極限です.
--------------------
4/21 (土)　数列の極限
資料を1枚配布(p.5-6). 数列が収束することと発散することの定義($\varepsilon$-$N$論法). 極限と四則の関係(和に関して証明を与えた). 極限と順序の関係(特にはさみうちの原理). 有界な単調数列の収束性定理とその例題(ネイピア数の定義).
★演習: 演習問題2-2(極限の計算).
※次回は, 関数の極限($\varepsilon$-$\delta$論法)と関数の連続性について講義する予定です.
--------------------
4/28 (土)　数列の極限(2)・関数の極限
資料を2枚配布(p.7-10). 漸化式によって定まる数列の極限の例.
★課題: 演習問題2-3. A4サイズの用紙(1枚で収めよ)に解き次回提出のこと.
関数(function)の定義域(domein)と値域(range). 関数の極限の定義($\varepsilon$-$\delta$論法). 極限と四則および順序との関係. 右極限と左極限. 関数の極限と数列の極限の関係.
★演習: 演習問題3-3, 3-2 (早い人は3-1も).
※来週はGWのためお休み. 次回(再来週)は, 関数の連続性, 逆三角関数.
--------------------
5/12(土)　関数の連続性, 逆三角関数
資料を2枚配布(p.11-14). 関数の連続性. 中間値の定理, 最大値・最小値の定理, 逆関数の定理. 高校で学んだ逆関数の例を振り返りながら, 逆三角関数を定義. 逆三角関数の値, 性質, 証明問題の例.
★演習: テキストp.30の問6
※逆三角関数の性質をよく復習すること. 次回から, 1変数関数の微分法に入ります.
--------------------
5/19(土)　1変数関数の微分法(1)
微分係数と導関数. 逆三角関数の導関数. 対数微分法.
演習および解説: 資料p.13の演習問題6-2
双曲線関数とその逆関数.
※近々, 小テストを行う予定です. 6月上旬(？)
--------------------
5/26(土)　1変数関数の微分法(2)
資料を1枚配布(p.15-16). 極大と極小の定義, ロルの定理, 平均値の定理(およびその周辺), コーシーの平均値の定理, ベルヌーイ-ロピタルの定理. 高階導関数.
※小テストの候補日: 6月9日(またはそれ以降)
-----------------
6/2(土)　1変数関数の微分法(3)
資料を1枚配布(p.17-18). 高階導関数, ライプニッツの公式とその例題(テキストp.49の二つの例). テイラーの定理(証明は抜きにして資料の定理9.1, 定義9.2, 定義9.3を一気に説明), $e^x$と$\sin x $のテイラー展開. ネイピア数の近似値. 形式べき級数の演算とテイラー展開.
※6月9日の1限に小テストを行います. 範囲は資料の6節～9節. 時間は40～45分を予定.
-----------------
6/9(土)　テスト, 1変数関数の微分法(4), べき級数(1)
テスト60分間. テイラーの定理の証明, ネイピア数が無理数であることの証明. 資料を1枚配布(p.19-20). べき級数の収束性(ダランベールの判定法とコーシーの判定法を簡単に説明して終わり).
※次回はべき級数の続きと積分.
-----------------
6/16(土)　べき級数(2), 積分(1)
資料を1枚配布(p.21-22). べき級数の続き(項別積分でテイラー展開を作る例). 積分の計算, 特に有理関数の積分.
★演習: 資料p.21の問題11-1 (2)
※次回は, 定積分の定義, 微分積分学の基本定理, 広義積分.
--------------------
6/23(土)　積分(2)
資料を1枚配布(p.23-24). 三角関数の有理関数の積分, 定積分の定義, 積分の平均値の定理(証明略), 微分積分学の基本定理と証明, 微分積分学の基本公式.
※次回は, 広義積分. 偏微分の初歩も.
--------------------
6/30(土)　積分(3), 多変数関数の微分法(1)
広義積分. 多変数関数の定義域, グラフ. 2変数関数の例. 3次元空間内の平面の方程式. 偏微分.
★演習: 教科書p.67の問2 (1)(2)(3).
--------------------
7/7(土)　多変数関数の微分法(2)
資料を2枚配布(p.25-28), 接平面の図を配布. 練習問題を1枚配布.
2変数関数の極限と連続性, 偏導関数と高階偏導関数, 全微分可能性と接平面.
演習: 教科書p.96, 問3や接平面を求める問題を授業中に解いた:
問. 曲面 $ z = f(x,y) $ の接点$A$における接平面を求めよ.
(1) $ f(x,y) = x^4 y + 3 x^2 y^2 + 5 x $, $ A(1,2,f(1,2)) $
(2) $ f(x,y) = \sin (3x+2y ) $, $ A(0,0,f(0,0)) $

(答) (1) $ z = 37 x + 13 y - 44 \quad $ (2) $ z = 3 x + 2 y $

参考: 2変数関数のグラフの例
(Windows用ソフト「FunctionView」利用, 講義で取り扱っていないものも含む)
$ z = ( x^2 - y^2 ) / ( x^2 + y^2 ) $
曲面1-1　曲面1-1a　曲面1-2　曲面1-3　曲面1-4
$ z = xy / ( x^2 + y^2 ) $
曲面2-1　曲面2-1a　曲面2-2
$ z = ( x^3 + x^2 y ) / ( 2 x^2 + y^2 ) $
曲面3-1　曲面3-1a
$ z = \sin (3x+2y ) $と接平面$ z = 3 x + 2 y $
曲面4-1
--------------------
7/14(土)　多変数関数の微分法(3)
資料を1枚(p.29-30)配布. 合成関数の(偏)微分法, 変数変換とそのヤコビアン, 2変数関数のテイラーの定理.
★演習: $ f(x,y) = e^{x+2y} $の点$(0.0)$におけるテイラー展開を3次の項まで求めよ.

(答) $ e^{h+2k} = 1 + h + 2 k $ $ + \frac{1}{2} h^2 + 2 h k + 2 k^2 $ $ + \frac{1}{6} h^3 + h^2 k + 2 h k^2 + \frac{4}{3} k^3 $ $ + \cdots $
(これは係数をすべて既約分数にした表し方)
--------------------
7/21(土)　多変数関数の微分法(4)
2変数関数の極値問題, 陰関数定理と条件付き極値問題. 授業アンケート.
--------------------
7/28(土)の予定
これまでに説明が足りなかった部分の補足や, 質問の受付, 自習などに充てます. (試験範囲は前回までで終わりました. 試験の内容も通達済みです.)
--------------------
7/30(月)　期末試験
90分間, 持ち込み不可.
--------------------

『数学A』

0. 更新履歴および連絡事項

1. 履修に当たって

2. 文献とソフトウェア

3. 資料

基礎概念

1変数関数の微分法

べき級数・1変数関数の積分法

多変数関数の微分法

4. 授業の記録