第8回
特別な線積分の補足: (2018/11/19 改補)
授業では空間ベクトルを用いて, スカラー場, ベクトル場,
勾配, 線積分などを取り扱ったが, これらは平面ベクトルとしても考えられる.
以下, ベクトルは$ F = (F_1,F_2) $のように記述する.
授業の「特別な線積分」において,
$ \nabla \varphi = F $となる $ \varphi $ の見つけ方を説明したが,
平面ベクトルの場合は一般に次の定理が知られている.
定理.
平面上のベクトル場 $ F = (F_1(x,y), F_2(x,y)) $ が与えられているとし,
$ F $ はある(未知な)スカラー場 $ \varphi(x,y) $ の勾配になっていることが分かっているとする.
(すなわち, $ \varphi_x = F_1, \varphi_y = F_2 $ とする.)
このとき, $ \varphi $ は次の公式で求めることができる:
$ (x_0,y_0) $ を適当な定点, $ (x,y) $ を不定点として,
$ \quad
\varphi(x,y)
=
\displaystyle
\int_{x_0}^{x} F_1(x,y_0) \,dx
+ \int_{y_0}^{y} F_2(x,y) \,dy
\quad $ ・・・(1)
あるいは
$ \quad
\varphi(x,y)
=
\displaystyle
\int_{x_0}^{x} F_1(x,y) \,dy
+ \int_{y_0}^{y} F_2(x_0,y) \,dx
\quad $ ・・・(2)
補注: 空間ベクトルの場合も同様の定理があるが, 煩雑になるので省略する.
定理の証明.
$ F $ はあるスカラー場の勾配なので, 線積分は経路によらない.
$ P_0(x_0,y_0) $ を適当な定点, $ P(x,y) $ を不定点とし,
$P_0$ から $P$ へ至る線積分 $ \int_{P_0}^{P} F \cdot dr $ を考える.
これは $P$ によって積分値が変わるから, $x,y$ の2変数関数とみなせる.
そこで, $ \varphi(x,y) = \int_{P_0}^{P} F \cdot dr $ とおく.
(補注: $ \varphi(x,y) $ は 不定積分 $ G(x) = \int_a^x f(t) \,dt $ の類似物である. 詳しくは後ほど.)
$ \varphi $ の右辺を計算する.
経路によらない線積分なので,
特に $ P_0(x_0,y_0) $, $P_1(x,y_0)$, $ P(x,y) $ を順次に結ぶ折れ線(図を描いてみよ)に沿って積分してよい.
線分 $ P_0 P_1 $ は $ (x,y)=(t,y_0) $, $ x_0 \leq t \leq x \quad $ ($x$ 軸に平行な線分),
線分 $ P_1 P $ は $ (x,y)=(x,u) $, $ y_0 \leq u \leq y \quad $ ($y$ 軸に平行な線分)
と表せるので
$
\varphi(x,y) \\
= \displaystyle \int_{P_0}^{P} F \cdot dr \\
= \displaystyle \int_{P_0}^{P} ( F_1 \,dx + F_2 \,dy ) \\
= \displaystyle \int_{P_0}^{P_1} ( F_1 \,dx + F_2 \,dy ) + \int_{P_1}^{P} ( F_1 \,dx + F_2 \,dy ) \\
= \displaystyle
\int_{x_0}^{x} ( F_1(t,y_0) \frac{dx}{dt} + F_2(t,y_0) \frac{dy}{dt} ) \,dt
+ \int_{y_0}^{y} ( F_1(x,u) \frac{dx}{du} + F_2(x,u) \frac{dy}{du} ) \,du \\
= \displaystyle
\int_{x_0}^{x} ( F_1(t,y_0) \cdot 1 + F_2(t,y_0) \cdot 0 ) \,dt
+ \int_{y_0}^{y} ( F_1(x,u) \cdot 0 + F_2(x,u) \cdot 1 ) \,du \\
= \displaystyle \int_{x_0}^{x} F_1(t,y_0) \,dt + \int_{y_0}^{y} F_2(x,u) \,du \qquad \cdots (3)
$
となる. (文字 $t,u$ を $x,y$ に置き換えれば, 式(1)と一致する.)
折れ線の取り方を $ P_0(x_0,y_0) $, $P_2(x_0,y)$, $ P(x,y) $ に変えれば, 同様に
$
\varphi(x,y)
= \displaystyle \int_{x_0}^{x} F_1(t,y) \,dt + \int_{y_0}^{y} F_2(x_0,u) \,du \qquad \cdots (4)
$
を得る. (文字 $t,u$ を $x,y$ に置き換えれば, 式(2)と一致する.)
(3)の右辺の第1項は $y$ に無関係なので, $ \varphi(x,y) $ を $y$ で偏微分すれば
$
\varphi_y(x,y) \\
= \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} \int_{x_0}^{x} F_1(t,y_0) \,dt
+ \frac{\partial}{\partial y} \int_{y_0}^{y} F_2(x,u) \,du \\
= 0 + F_2(x,y) \\
= F_2(x,y)
$
を得る. 同様に, (4)の右辺の第2項は$x$に無関係なので, $x$で偏微分すれば
$
\varphi_x(x,y)
= F_1(x,y)
$
を得る.
したがって, 上で定義した $ \varphi(x,y) $ は $ \varphi_x = F_1, \varphi_y = F_2 $ を満たすスカラー場である. ■
コメント.
以上の話は「微分積分学の基本定理」の拡張である.
関数の連続性などの細かい条件を抜きにroughに書くと次の通り:
微分積分学の基本定理.
$x$を不定とし, $ \displaystyle \int_a^x f(t) \,dt $ を $ \varphi(x) $とおくと, $ \varphi'(x) = f(x) $となる.
今回の話.
$P(x,y)$を不定とし,
$ \displaystyle \int_{P_0}^{P} F \cdot dr $ を $ \varphi(x,y) $とおくと,
$ ( \varphi_x, \varphi_y ) = ( F_1, F_2 ) = F $ となる.
($ \displaystyle \int_{P_0}^{P} ( F_1 \,dx + F_2 \,dy ) $ を $ \varphi(x,y) $とおくと, $ d\varphi = F_1 \,dx + F_2 \,dy $となる.)
補注: $ d \varphi $ は $ \varphi_x \,dx + \varphi_y \,dy $ と定義されるもので, $ \varphi(x,y) $ の全微分と呼ばれる.
例題.
1次微分形式 $ \omega = (y+1) \,dx + x \,dy $ に対して, $ d \varphi = \omega $ となる $ \varphi $ を求めよ.
解. $ F_1(x,y) = y+1 $, $ F_2(x,y) = x $ とおく.
定点を $ (x_0,y_0)=(0,0) $ とすると, 定理の式(1)より
$
\varphi(x,y) \\
=
\displaystyle \int_{0}^{x} F_1(x,0) \,dx + \int_{0}^{y} F_2(x,y) \,dy \\
=
\displaystyle \int_{0}^{x} (0+1) \,dx + \int_{0}^{y} x \,dy \\
= x + xy
$
補注. 定点を違うものにすると, 定数の差が現れる($ x + x y + c $ のようになる)が,
$ d \varphi = \omega $ を満たすことに変わりはない.