2017年度前期数学1 (物理)

3. 授業の記録

★は提出物を表す.

4/10 (月)　実数の性質
ガイダンス. 実数の基本性質(公理), 公理を用いて定理 $ a \leq b, c \leq 0 \Rightarrow ac \geq bc $ の証明, 最大数(最小数), $[0,1)$に最大数がないことの証明, 上限(下限), 上に(下に)有界, 連続性公理. 問題1-1 (20分程度).
頻出の言葉や論理記号など
補助資料のp1-p4を配布. (都合により電子データは掲載不可)
※補助資料の取材元→黒田成俊著「共立講座 21世紀の数学 1 微分積分」(共立出版)
※次回は数列の極限です.
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4/17 (月)　数列の極限
数列が収束することと発散することの定義($\varepsilon$-$N$論法). 極限と四則の関係(和に関して証明を与えた). 極限と順序の関係. 例をいくつか説明.
★演習: 問題2-1(はさみうちの原理の証明)と問題2-2(極限の計算).
補助資料のp5-p8を配布. (都合により電子データは掲載不可)
※次回は, 有界な単調数列の収束性定理の応用例題(ネピア数の定義等)から始めて, 関数の極限($\varepsilon$-$\delta$論法)と関数の連続性について講義する予定です.
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4/24 (月)　数列の極限(2)・関数の極限
数列$ \{ (1+\frac{1}{n})^{n} \} $の収束性とネピア数の定義. 漸化式によって定まる数列の極限の例.
関数(function)の定義域(domein)と値域(range). 関数の極限の定義($\varepsilon$-$\delta$論法). 使用例(ある比例関数の極限). ★演習: 問題3-1, 問題3-2. (次回までの課題)
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5/1(月)　関数の連続性, 逆三角関数
極限と四則および順序との関係. 右極限と左極限. 関数の極限と数列の極限の関係.
関数の連続性. 中間値の定理, 最大値・最小値の定理, 逆関数の定理. 高校で学んだ逆関数の例を振り返りながら, 逆三角関数を定義. 逆三角関数の値, 性質, 証明問題の例. ★演習: なし.
補助資料のp9-p12を配布. (p9までは都合により電子データは掲載不可. p10: 追加問題あるいは確認問題, p11-p12: 5 逆三角関数の定義とグラフ)
※逆三角関数の性質をよく復習すること. 次回から, 1変数関数の微分法に入ります.
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5/8(月)　1変数関数の微分法(1)
微分係数と導関数. 逆三角関数の導関数, 双曲線関数の導関数.
★演習: 問題6-2 (6)(7)(8)(9) (次回までの課題).
補助資料のp13-p16を配布. (p13-p18: 6 関数の微分可能性／7 微分可能な関数の性質／8 高階導関数／9 テイラーの定理と応用／追加問題その2)
※次回は, 平均値の定理とその周辺です.
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5/15(月)　1変数関数の微分法(2)
極大と極小の定義, ロルの定理, 平均値の定理(およびその周辺), コーシーの平均値の定理, ベルヌーイ-ロピタルの定理. 高階導関数, ライプニッツの公式.
★演習: なし.
※次回の目標は, テイラーの定理とその応用です.
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5/22(月)　1変数関数の微分法(3)
テイラーの定理とその証明, 有限テイラー展開. $e^x$の展開, ネピア数が無理数であること.
★演習: 問題9-1 (次回までの課題)
補助資料のp17-p18を配布.
※次回は, テイラーの定理の応用の続き, べき級数.
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5/29(月)　1変数関数の微分法(4)
(有限でない)テイラー展開, 形式べき級数と演算(和・積・項別微分・項別積分), べき級数の収束性, 収束半径, ダランベールの判定法とコーシーの判定法.
補助資料のp19-p20を配布.
(p19-p20: 10 べき級数)
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6/5(月)　積分(1)
不定積分の計算. 特に, 有理関数の積分. $\sin x,\cos x$の有理関数の積分.
★演習: 問題11-1. (次回までの課題)
補助資料のp21-p22を配布.
(p21-p24: 11 積分の計算／12 定積分の定義と微分積分学の基本定理／追加問題その3)
※次回は, 定積分の定義と微分積分学の基本定理の説明, 広義積分.
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6/12(月)　積分(2)
定積分の定義, 積分可能でない例, 積分の平均値の定理(証明略), 微分積分学の基本定理と証明, 微分積分学の基本公式.
補助資料のp23-p24を配布.
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6/19(月)　積分(3), 多変数関数の微分法(1)
広義積分. 多変数関数(定義域と値域, グラフ). 平面の方程式の一般形の導出, 2変数関数の極限.
練習問題, 偏微分のプリント(手書き)を配布.
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6/26(月)　多変数関数の微分法(2)
偏微分可能だが連続にならない関数の例, 全微分可能性, 接平面の方程式.

参考: 2変数の有理関数のグラフの例(Windows用ソフト「FunctionView」利用, 講義で取り扱っていないものも含む)
$ z = ( x^2 - y^2 ) / ( x^2 + y^2 ) $
曲面1-1　曲面1-1a　曲面1-2　曲面1-3　曲面1-4
$ z = xy / ( x^2 + y^2 ) $
曲面2-1　曲面2-1a　曲面2-2
$ z = ( x^3 + x^2 y ) / ( 2 x^2 + y^2 ) $
曲面3-1　曲面3-1a
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7/3(月)　多変数関数の微分法(3)
多変数関数の微分法の資料
合成関数の(偏)微分法, 変数変換とそのヤコビアン. 高階偏導関数, 2変数関数のテイラーの定理.
★課題: 練習問題2の問1～問6
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7/10(月)　多変数関数の微分法(4)
2変数関数の極値問題(極値の定義・極値を取るための必要条件・極値の判定法・例題).
参考: 極値問題の例として用いた関数$ f(x,y) = x - x^3 - x y^2 $のグラフ: 1枚目, 2枚目, 3枚目.
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7/17(月)　陰関数定理と条件付き極値問題
陰関数定理, 条件付き極値(停留値)問題, 授業アンケート.
急遽作った資料.
追加の問題を配布. データは週末に公開. (7/24公開)
※配布したものに誤植あり(データ訂正済み): 問題3(1)にて, 正しくは$ x^3 - x^2 + x - 1 $.
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7/29(土)　期末試験
90分, 持ち込み不可.
学生証, 黒(青)ペンを忘れずに.
問題用紙, 計算用紙, 解答用紙が配布されるが, 回収するのは解答用紙のみ.
途中計算や思考過程などはすべて解答用紙に記すこと. すぐに答えが分かる問題を除き, 答えのみは不可(不正解)とする.
(一応計算用紙もあるが, 以上の点には注意すること.)
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『数学1 (新規・再履)』

0. 更新履歴および連絡事項

1. 履修に当たって

2. 文献とソフトウェア

3. 授業の記録